WP Staging のクローン処理が、ある場所から別の場所へファイルをコピーしている途中で中断する場合や、「Error 404 Can’t find Ajax request URL」のエラーで停止する場合は、WP Staging > Settings に移動し、以下の設定をお試しください。
- CPU Load: Low

この問題は、サーバー上で mod_security モジュールが有効になっていることで発生する場合があります。
WP Staging は、あるフォルダから別のフォルダへファイルをコピーするために、admin-ajax.php に対して複数の Ajax POST リクエストを発行します。
mod_security は、これらのリクエストが悪意のあるものや、サーバーに害を与える可能性があるものと判断すると、しばらくしてからリクエストをブロックします。もちろん、実際にはそのようなことはありません。
以下もあわせてお試しください。
- File Copy Limit の設定を 250 に増やします。

- mod_security を完全に無効化します(推奨はしません)。
- Hosting 会社に mod_security のログを提供してもらえないか確認してください。送っていただくか、特定のルールが原因でこれらの Ajax リクエストが mod_security によってブロックされていないかを確認してもらってください。その情報があれば、おそらく専用の修正をご用意できます。