マルチサイトネットワークのサイトをクローンするときに、「ネットワーク全体をクローンする」のチェックボックスを選択しないと、WP STAGING は現在のサイトのみをクローンします。その過程で、サイトはシングルサイトに変換されます。
シングルサイト上では動作できないマルチサイト関連の Plugin がサイトに存在し、しかもその Plugin の作りがあまり良くない場合、Staging サイトに「This plugin only functions on WordPress Multisites」のような致命的なエラーが表示され、サイトが読み込まれなくなります。
そのため、ネットワーク全体をクローンすることをおすすめします。そうすれば、Staging サイトがシングルサイトに変換されることはなく、すべてのネットワーク Plugin も本来の動作を続けられます。
この方法で解決しない場合、それでもシングルサイトのクローン処理を使いたい場合は、どの Plugin がそのエラーを引き起こしているのかを特定し、その Plugin を無効化する必要があります。Plugin フォルダ wp-content/plugins/plugin-name を別の名前に変更するか、最初のクローン処理でその Plugin フォルダを除外することで、Plugin を無効化できます。