特定のユーザーに Staging サイトへのアクセスを許可しつつ本番サイトへのアクセスは許可したくない場合は、Staging サイト上で管理権限を持つ新しいユーザーアカウントを作成してください。同じユーザーが本番サイト上に存在しないこと、少なくとも本番サイトの管理者権限を持っていないことを確認してください。
新しいユーザーアカウントは wp-admin > users から追加できます。
非管理者アカウントにも Staging サイトへのアクセスを許可したい場合は、新しいユーザーロールを作成するか既存のものを利用し、そのユーザーをそのユーザーロールに割り当ててください。
次に Staging サイト > WP STAGING > Settings に移動し、そのユーザーロールに Staging サイトへのアクセスを許可してください。

新しいユーザーロールを作成したり、ユーザーアカウントに特定の権限を割り当てたりできる優れたメンバー Plugin として、Members Plugin があります。
注: 管理者はいずれにしても Staging サイトのフロントエンドとバックエンドにログインでき、カスタムの権限は不要です。
重要: Staging サイトを本番サイトに PUSH すると、ユーザーとその権限も本番サイトにコピーされます。つまり、Staging サイトの管理者は PUSH 後に本番サイトにアクセスできるようになります。
これを防ぐには、PUSH から _users と _usermeta テーブルを除外してください!